复利公式推导：一步步详解
复利是一种计算利息累计的方式，其中利息将在每个计息期末被添加到本金中，进而产生更多利息。复利公式是：
$$A = P(1 + r)^n$$
其中：
A = 复利后的总金额
P = 本金（初始金额）
r = 年利率
n = 复利的时间（以年为单位）
推导步骤
步骤 1：计算第一年的利息
在第一年结束时，利息为：
$$I_1 = Pr$$
步骤 2：计算第一年结束时的本金
第一年结束时的本金是本金加上利息，即：
$$P_1 = P + I_1 = P + (Pr) = P(1 + r)$$
步骤 3：计算第二年的利息
在第二年结束时，利息为：
$$I_2 = P_1r$$
步骤 4：计算第二年结束时的本金
第二年结束时的本金是第一年结束时的本金加上利息，即：
$$P_2 = P_1 + I_2 = P_1 + (P_1r) = P_1(1 + r)$$
步骤 5：推广到任意年
通过重复步骤 3 和 4，可以看出第 n 年的本金为：
$$P_n = P_{n-1}(1 + r) = P_{n-2}(1 + r)^2 = ... = P(1 + r)^n$$
步骤 6：得到复利公式
在第 n 年，复利后的总金额（A）等于第 n 年的本金，即：
$$A = P_n = P(1 + r)^n$$
公式运用
复利公式可用于计算给定本金、利率和时间下的复利金额。例如，如果一个投资人在 10 年内以年利率 5% 投资 10,000 美元，则复利后的总金额为：
$$A = 10,000 (1 + 0.05)^{10} = 16,288.95$$
由此可见，复利可以显著增加投资回报，尤其是在长期投资中。
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