房贷等额本息的计算原理

等额本息还款法是房贷中常用的还款方式，其特点是每个月偿还的本息总额相等。它的计算公式如下：

每月还款额 = [贷款本金 × (贷款利率 ÷ 12) × (1 + 贷款利率 ÷ 12)^(贷款期限 × 12)] / [(1 + 贷款利率 ÷ 12)^(贷款期限 × 12) - 1]

公式推导步骤

1. 设定每月还款额为R

每月还款额包含偿还的本金B和利息I，即：

R = B + I

2. 确定贷款总额和贷款期限

已知贷款总额为P，贷款期限为n年，按月还款，共n×12期。

3. 计算贷款利率

已知贷款利率为r，每月利率为r/12。

4. 求每月利息

假设第m期末的本金余额为B(m)，则第m期的利息为：

I(m) = r/12 × B(m)

5. 求每月本金还款额

第m期的本金还款额为：

B(m) = R - I(m) = R - r/12 × B(m)

整理上式得：

B(m) = R / (1 + r/12)

6. 建立递推关系式

由于每期还款的本金不同，第m+1期末的本金余额为：

B(m+1) = B(m) - B(m) = B(m) × r/12

将B(m)代入上式得：

B(m+1) = R / (1 + r/12) × r/12

7. 求和公式

对递推关系式求和，从m=0到m=n×12-1：

B(0) + B(1) + ... + B(n×12-1) = R / (1 + r/12) × (r/12 + r/12² + ... + r/12^n×12)

由于等比数列求和公式为：

a + ar + ar² + ... + ar^n-1 = a(1 - rⁿ) / (1 - r)

将r=r/12代入上式得：

B(0) + B(1) + ... + B(n×12-1) = R / (1 + r/12) × (r/12 × (1 - (r/12)^n×12)) / (1 - r/12)

整理上式得：

B(0) + B(1) + ... + B(n×12-1) = P

因为B(0)为贷款总额P，所以等号左边的和式表示贷款总额P。

8. 化简公式

将B(0) + B(1) + ... + B(n×12-1)代回等式R = B + I得：

R = P / (1 + r/12) × (r/12 × (1 - (r/12)^n×12)) / (1 - r/12) + r/12 × P

整理上式得：

R = [P × (r/12) × (1 + r/12)^(n×12)] / [(1 + r/12)^(n×12) - 1]