分期实际利率计算公式的完整推导
分期实际利率是反映分期付款业务中贷款利率真实水平的重要指标。其计算公式如下：
$$r_e=\frac{2\times(r\times n)}{2\times n+1}\times100\%$$
其中：
$r_e$：分期实际利率
$r$：分期年化利率
$n$：分期期数
该公式的推导过程如下：
1. 等额本金贷款的计算
对于等额本金贷款，每期本金和利息的计算公式为：
$$P_n=P_0\times\frac{r}{12}\times\frac{n}{n+1}$$
$$I_n=P_0\times\left ( r_e-\frac{r\times n}{n+1} \right )$$
其中：
$P_0$：贷款本金
$P_n$：第 $n$ 期应还本金
$I_n$：第 $n$ 期应还利息
2. 计算一年的实际利率
一年内的总利息支出为：
$$I_{total}=\sum_{n=1}^{12}I_n$$
将 $I_n$ 代入，得：
$$I_{total}=P_0\times r_e-P_0\times r\times\frac{1+2+3+\cdots+12}{12\times(12+1)}$$
化简后得：
$$I_{total}=P_0\times r_e-P_0\times r\times\frac{12\times13}{2\times12\times13}$$
将 $\sum_{n=1}^{12}P_n=P_0$ 带入，得：
$$r_e=\frac{2\times I_{total}}{P_0}=\frac{2\times r}{12}$$
3. 推广到分期期数
对于分期期数为 $n$ 的情况，可将 $12$ 替换为 $n$，得到分期实际利率的计算公式：
$$r_e=\frac{2\times(r\times n)}{2\times n+1}\times100\%$$
举例分析
假设某分期贷款的年化利率为 6%，分期期数为 12 个月，则分期实际利率为：
$$r_e=\frac{2\times(6\%\times12)}{2\times12+1}\times100\%=6.19\%\approx6.20\%$$
可见，分期实际利率高于年化利率，这是因为分期付款会产生额外的利息损失。
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